«СУРАП АЛУУ» ДЕГЕН ЭМНЕ?

Мамычалап кемитүү жана ал эмне үчүн экинчи класста эле бүтпөй турганы жөнүндө сөз

«Бир жип» сериясы, 1-макала.

Туура кабыл алуу чаташкан эрежелердин арасында жол табууга жардам берет

Мугалимдер жана репетиторлор менен иштеп жүрүп, биз көп учурда бир эле суроону угабыз: ар бир окуучу түшүнгөндөй кылып кантип түшүндүрсө болот? Бизде даяр рецепт жок, бирок бөлүшкүбүз келген байкоолор жана ыкмалар бар. Мектеп математикасынан алынган чакан мисалдардын негизинде тажрыйбабыз менен үзгүлтүксүз бөлүшүп, ал башталгыч мектептен чоң турмушка чейин кайда алып барарын көрсөтүүгө аракет кылабыз.

Мамычалап кемитүүнү өзүбүз кантип үйрөнгөнүбүздү эстеп көрүңүз. Элүү экиден он жетини кемитүү керек. Экиден жетини кемите албайсың – демек, бештен «сурап алабыз»: анын үстүнө чекит коёбуз, ошондо эки он экиге айланат. Он экиден жетини кемитсек – беш. Чекит коюлган беш төрткө айланат, төрттөн бирди кемитсек – үч. Жообу: отуз беш.

Баары туура. Бирок экинчи класстын окуучусунан сурап көрүңүзчү: биз ошондо эмнени сурап алдык? Эмне үчүн эки үчкө эмес, он экиге айланды – бир гана бирдик алдык го? Көбүнчө «ушундай керек» деген жоопту угабыз. Бул – чыныгы жооп: бала аракеттердин ырааттуулугун жаттап алган – чекит, сол жакка бир, кошунасынан бирди кемитүү, – бирок анын артында эмне турганын билбейт.

Ал эми анын артында абдан жөнөкөй нерсе турат. Элүү эки – бул беш ондук жана эки бирдик. Эгер бала биринчи класста эсептөөчү таякчаларды ондон байлап жүрсө, муну көзү менен эле көрөт: беш байлам жана эки өзүнчө таякча. Жети өзүнчө таякчаны берүүгө болбойт – алар болгону экөө. Демек, бир боону чечүү керек. Боодон төртөө калды, ал эми өзүнчө таякчалар он экиге жетти. «Он эки» мына ушундан келип чыгат: биз бирдикти эмес, ондукту карызга алдык, ал он бирдикке чачырап кетти. Эми жети таякчаны берсе болот, бешөө калат; төрт боодон бирөөнү берсек – үчөө калат. Бештин үстүндөгү ошол чекит – бир боо чечилгенин билдирген жөнөкөй белги.

Бул эки баланын – чекитти жаттап алганы менен боо чечкенинин – ортосундагы айырма экинчи класста көрүнбөйт. Экөө тең мисалды туура чыгарат, экөө тең «беш» алат. Айырма кийинчерээк пайда болот – жана окуу канчалык алыска кетсе, ошончолук чоңоё берет.

Үчүнчү класс:
миңден үчтү кемитүү

Башталгыч класстын ар бир мугалими окуучулар көп мүдүрүлүүчү бир мисалды жакшы билет: миңден үчтү мамычалап кемитүү. Нөлдөн үчтү кемите албайсың – кошунадан сурап алабыз. Бирок кошунада да нөл. Андан кийинкисинде да. «Кошунанын үстүнө чекит кой» деген эрежеси гана бар бала бул жерде адашып калат: ал жерде эч нерсе жок болсо, чекитти эмненин үстүнө коёт? Жооптор ар түрдүү болот – 1003 деген жоопко чейин: нөлдөн кемитүүгө болбогондуктан, бала жөн эле үчтөн нөлдү кемитип коёт.

Боолору бар бала башка сүрөттү көрөт. Миң – бул бир чоң боо. Аны чечебиз – он жүздүк чыгат. Бирок жүздүктөр разрядында тогуздан ашык болбойт: тогуз жүздүк ордунда калат, ал эми онунчусун чечебиз. Он ондук чыгат. Алардын тогузу ондуктар разрядында калат, онунчусун чечебиз – алдыбызда он бирдик. Мына ошолордон үчтү кемитебиз – жети калат. Тогуз жүздүк, тогуз ондук, жети бирдик: 997.

Эгер сандын өз бирдиктери мурунтан эле болсо – мисалы, миң экиден үчтү кемитсек, – чечилген онго дагы экөө кошулуп, бирдиктер он эки болот. Үчтү кемитебиз – тогуз, жообу 999. Бул элүү эки менен болгон мисалдагы ойдун дал өзү, болгону катары менен бир нече жолу колдонулган. Жаңы эч нерсе жаттоонун кереги жок.

Ал эми жашоодо кандай?

Автобус саат үч он беште жөнөйт, азыр саат бир кырк. Канча күтүү керек? Чоң киши байкабастан эле ошол эле карызга алууну жасайт. Он беш мүнөттөн кырк мүнөттү кемите албайсың – демек, бир саатты чечебиз. Болгону бул «байламда» он эмес, алтымыш мүнөт. Үч саат он беш мүнөт – бул эки саат жетимиш беш мүнөт; бир саат кырк мүнөттү кемитебиз – бир саат отуз беш мүнөт калат. Байламдарды түшүнгөн бала муну дароо чечет. «Сол жагына бирди кошуп жаз» деген эрежени жаттаган бала он беш мүнөттү жүз он бешке айлантып, «бир саат жетимиш беш мүнөт» деген жоопко келет – жана кайда жаңылганын түшүнбөй, ага узак карап отурат.

Байламдарды түшүнүү табигый кылган дагы бир турмуштук ыкма бар. Элүү экиден он жетини мындай кемитсе болот: дароо жыйырманы кемитебиз – бул жөн гана эки бүтүн байлам, отуз эки калат. Бирок биз керектүүдөн үчкө көп кемиттик – аларды кайра кошобуз: отуз беш. «Жакшы эсептеген» адамдар оозеки ушинтип эсептешет, бул жерде эч кандай талант жок: алар он жетиден эки цифраны эмес, үчү кем эки ондукту көрүшөт. Сатуучу да үч жүз жетимиш сомдук сатып алууга миң сомдон кайтарымды ушинтип санап берет: төрт жүзгө чейин отузду, андан кийин миңге чейин алты жүздү кошот – жана эч качан мамычалап кемитпейт.

Бул да маанилүү. Миңден үч жүз жетимишти кемитүү үчүн телефонун колуна алган чоң киши сатуучудан акылсыз эмес. Болгону экинчи класста ага байламды эмес, чекитти көрсөтүшкөн. Ошондон бери ал үчүн эсептөө – сандарды көрүүнүн жолу эмес, кагазда аткарыла турган процедура.

Бешинчи жана алтынчы класс:

Бөлчөктөр

Үчтөн нөл бүтүн жүздөн кырк сегизди кемитүү. Алтынчы класстын окуучусуна: «нөлдөрдү кошуп жазып, адаттагыдай кемит» дешет. Мында болсо бир окуучу жаңы эрежени жаттаса, ал эми экинчиси эски аракетти тааныйт. Үч бүтүндүн бирин чечебиз – ондон он болот. Ондон тогузун калтырабыз, ондон бирди чечебиз – жүздөн он болот. Эми бизде эки бүтүн, ондон тогуз жана жүздөн он бар. Жүздөн ондон жүздөн сегизди кемитебиз – жүздөн эки калат. Ондон тогуздан ондон төрттү кемитебиз – ондон беш калат. Жообу: эки бүтүн жүздөн элүү эки. Бул миңден үчтү кемиткендин дал өзү, болгону байламдар эми үтүрдүн оң жагында. Ал эми алтынчы класстын окуучусунан «кошуп жаз» деп суралган нөлдөр – чечүү учурунда пайда болгон ошол ондон бир жана жүздөн бир үлүштөрдүн орундары.

Ал эми ондуктар таптакыр жок мисал: бештен эки бүтүн төрттөн үчтү кемитүү. Нөл чейректен үч чейректи кемите албайсың. Тааныш го? Бир бүтүндү чечебиз – бирок эми ал он бөлүккө эмес, төрт чейрекке бөлүнөт. Беш төрт бүтүн жана төрт чейрекке айланат; кемитебиз – эки бүтүн төрттөн бир чыгат. Байламдарды түшүнгөн адам үчүн бул ачылыш: көрсө, ондукту гана эмес, башканы да «карызга алса» болот экен. Чекитти жаттап алган адам үчүн бул – мурункулары менен эч кандай байланышы жок дагы бир эреже. Математика бала үчүн эсте кармап туруу мүмкүн болбогон эрежелердин үймөгүнө мына ушинтип айланат.

Адамзат буга кылымдар бою келген

Цифранын үстүндөгү чекит мектеп техникасынын майда-чүйдөсү сыяктуу көрүнөт. Чындыгында анын артында адамзаттын эң узак ойлоп табууларынын бири турат. Рим соодагери да сурап алганды билчү: анын эсептөө тактасында ар бир сызык разряд болгон, ал эми карызга алуу физикалык аракет эле – бир сызыктан бир ташты алып, коңшу сызыкка онду коюу. Бирок муну жазуу түрүндө чагылдыра алчу эмес. Рим жазуусунда CCV белгинин мааниси анын ордуна көз каранды эмес, демек, карызга ала турган разряд да жок. Эсептөө тактасында эсептешчү, ал эми жазуу тактайчасына жыйынтыкты гана жазышчу.

Түздөн-түз жазуу жүзүндө эсептөө үчүн эки нерсе керек болгон: цифранын мааниси анын ордуна жараша болгон жазуу жана бош орун үчүн белги – нөл. Мындай жазуу Индияда калыптанып, араб окумуштуулары аркылуу Европага жеткен жана ал жерде дароо эле орноп калган эмес: ага көпкө чейин ишенбөөчүлүк менен карашкан. Бул жол тууралуу – биздин «Бош орун кантип санга айланды» жана «Мыйзамдан тышкаркы цифралар» (https://www.instagram.com/youraizon1). Бала таякчалардын боосун чечкенде, адамзат көп кылымдарды короткон жолду беш мүнөттө басып өтөт.

Бул эмне үчүн методика маселеси?

Мамычалап кемитүүдөгү карызга алуу, миңден үчтү кемитүү, ондук бөлчөктөр, аралаш сандар, сааттар жана мүнөттөр, дүкөндөгү кайтарым акча – окуу китебинде бул ар башка класстардагы алты башка тема. Чындыгында бул бир эле аракет: чоң бирдикти майда бирдиктерге майдалоо. Бул аракетти бир жолу, экинчи класста өздөштүргөн бала андан ары аны жаңы кейиптерде гана тааныйт. Чекитти жаттап алган бала алты эреже үйрөнөт – жана ар бир жаңысы мурункуларга таянбастан, алардын жанына жөн гана кошулат.

Мунун баасы бар, аны ачык айтуу керек. Сабакта байламдар менен иштөө тактага чекит көрсөтүүгө караганда көбүрөөк убакыт алат. Бирок бул убакыт кайра кайтат: үчүнчү класста нөлдөрдү өзүнчө талдоонун кереги жок, алтынчы класста – үтүрдөн кийин эмне үчүн нөлдөрдү кошуп жазуу керектигин түшүндүрүүнүн кереги жок. Бирок бир тузак да бар: таякчалар өзүнөн өзү эч нерсеге кепилдик бербейт. Эгер бала боону буйрук болгону үчүн гана чечсе, таякчалар чекит сыяктуу эле адатка айланат. Колдогу буюм эмес, бала эмне үчүн мындай кылганын өзү сөз менен түшүндүргөн учур иштейт.

Ошондуктан эртеңки күнгө сунуш абдан жөнөкөй жана ар бир класска ылайыктуу. Окуучу карызга алуу менен мисал чыгарганда – мамычабы, бөлчөктөрбү же сааттарбы, баары бир, – андан сураңыз: «Биз эмнени сурап алдык?» Эгер ал «ондукту», «бүтүндү», «саатты» деп жооп берсе – жип үзүлгөн жок. Эгер «бирдикти» же «ушундай керек» деп жооп берсе – бул жаман баа коюуга эмес, таякчаларды алып чыгууга себеп, алдыңызда алтынчы класстын окуучусу отурса да. Беш секунддук бир суроо баланын башында эмне бар экенин көрсөтөт: идеябы же эрежеби.

Ошол эле идея – башка колдор менен

Таякчалардын боосу – жалгыз ыкма эмес. Ылдыйда ар кайсы мектептерден келтирилген үч мисалы, алардын баары бир эле нерсени көрсөтөт: разряд – бул боо, ал эми сурап алуу – аны майдалоо.

Дьенештин көп негиздүү блоктору. Кубик бул он кубиктен турган устунча, ал эми он устунча бул такта. Сурап алуу – бул устунчаны он кубикке алмаштыруу. Венгриялык математик Золтан Дьенеш мындай топтомдорду башка негиздер үчүн да – экилик, үчтүк, төрттүк – жасаган: бала ондук жаратылыштын мыйзамы эмес, макулдашуу экенин түшүнсүн деп. Аны Дьенештин логикалык блоктору менен чаташтырбаңыз – бул анын башка материалы.

Орус такта чоттору менен Соробан (Япония), бул жерде сурап алуу чекиттин артына жашырылган эмес: экиден жетини кемитүү үчүн ондуктар зымынан бир данекти алып, бирдиктер зымына үч данек кошушат – жетиге онго чейин так ушунча жетпейт. Ар бир кадам көзгө көрүнүп турат. Японияда соробанды 3–4-класстарда математика сабагында өтүшөт.

Насипай Рыспеков,

«ИИ Атлас» окуу борборунун директору,
Мгер Мурадян, YourAIZone билим берүү платформасынын жетектөөчү конструктору