О СОДРУЖЕСТВЕ ДВУХ ВЕЛИКИХ ИСКУССТВ

Высказывание школьницы Марины и послужило поводом написания и появления данной статьи.

Из истории

Ученые мужи древности Пифагор, Архит  и другие были глубоко убеждены, что не только музыка и математика, но и сама окружающая природа (шелестящие на ветру листья, шум воды), движущиеся планеты, обладают музыкальным ритмом и подчиняются математическим закономерностям. Согласно теории Пифагора, числа обладают абсолютной властью над всеми событиями и живыми существами, а значит они правят и музыкой. Музыка подчиняется высшим законам математики. Во все времена музыка была вершиной эмоционального состояния и величия человека. Под музыку проводили торжества, ритуалы, спортивные соревнования и даже  государственные мероприятия. Долгое время (вплоть до 17 века) музыка относилась к сфере математических знаний и была одним из прикладных разделов математики. Считалось, что звезды и планеты при своем движении издают звуки и эти звуки соотносятся друг к другу как музыкальное созвучие, образуя Великую Вселенскую гармонию звуков.

Науке хорошо известны труды греков, египтян, индейцев, китайцев, которые в своих исследованиях изучали природу звука и музыкальные мелодии с помощью математических законов и принципов. Одним из первых, кто установил связи между музыкой и математикой был древнегреческий философ, математик Пифагор (живший 2500 лет тому назад). В его школе мудрости музыка воспринималась в единстве и наравне с арифметикой, геометрией и астрономией.

Современные исследования

Исследования последних лет показали, что такие музыкальные произведения как сонаты и фуги в основном строятся по строгим математическим законам и законам логики. Математические законы и алгоритмы помогают и напрямую влияют на гармонию и музыкальный ритм произведения. В тоже время музыка помогает математикам в нахождении новых, а иногда и уникальных математических свойств в гармонии числовой последовательности.

Ученые – психологи анализируя факты и источники о взаимосвязях музыки и математики обнаружили удивительное природное совпадение музыкальной и математической одаренности. Так, история сохранила множество имен, когда величайшие композиторы одновременно были и гениальными математиками, и наоборот величайшие математики – были знаменитыми музыкантами. Среди них можно назвать греческого философа и математика Пифагора, Янис Ксенакио, Архит, Таренский, Мисаоду и др., которые были одновременно математиками и музыкантами самого высокого уровня. Не случайно немецкий ученый математик Готфред Вильгельм Лейбниц однажды сказал: “Когда мы слушаем музыку, наша душа считает …”. И сегодня учеными – педагогами доказано, что дети занимающиеся музыкой более успешно выполняют математические задания, требующего логического подхода.

В наши дни проблемами взаимосвязи музыки и математики активно занимаются  многие исследователи. Среди них можно назвать нашего современника профессора университета Миннесоты Гуэрино Маццола. Созданы и функционируют целые международные организации как SMCM  –  общество математиков и информатики в музыке и др. Ученые и сегодня пытаются провести новые параллели между музыкой и математикой.

О роли математики в изучении музыки

Несмотря на то, что музыкальная теория не имеет своего аксиоматического основания как в математике, тем не менее основа музыкального звука может быть легко описана математически.  Элементы музыки как форма, ритм, высота звука, темп, импульс и другие понятия, могут быть измерены в цифрах. Любой звук разлагается на синусоидальные волны, которые представляют гармоническую функцию преобразования Фурье.

Основной способ использования математики в теории музыки в музыкальных записях и обозначениях. Так в аккордах, в музыкальных размерах, в такте участвуют обыкновенные дроби. Не случайно, известный математик Кит Девлин в своей книге «Ген математики» пишет, «… что музыканты и математики одинаково используют при написании   обозначений как музыкальных паттернов, так и числовых образов». Опытный музыкант, читая музыкальные символы слышит в своем уме те звуки, которые эти символы обозначают. Тоже самое происходит с математиком – читая математические символы он проводит рассуждения, связанные с их изображением и понятием.

Многие ученые в своих трудах делали попытки представить музыку как некую математическую модель. Так великий математик всех времен Леонард Эйлер в своей фундаментальной работе «Диссертация о звуке» (1727 г.) писал: «Моей конечной целью было представить музыку как часть математики …». Другой известный математик Лейбниц в письме Гольдбаху пишет: «Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души …». На что Гольдбах ему отвечает: «Музыка – это проявление скрытой математики».

Многие композиторы очень полезно и эффективно применяют в своем творчестве математические методы и принципы. Среди них можно смело назвать Иоганна Себастьяна Баха, который использовал математику в своих знаменитых фугах, а Моцарт в своих произведениях применил открытый математиками “Золотое сечение” и др.

Как известно, любое музыкальное произведение записывается с помощью нот. Если переложить ноты на числа, то получается числовой ряд. И наоборот, если числовой ряд перенести на язык ноты – то рождается музыка. Следовательно, музыка и математика – это две родные сестры, которые помогают, любят и поддерживают друг друга.

Для наглядности попробуем математизировать некоторые наиболее известные музыкальные произведения. Для этого каждый музыкальной ноте присвоим номер ступени:  «1» – — первая ступень, «2» –  вторая ступень, «3» –  третья ступень, …, «7» –седьмая ступень, «8» –  первая ступень, «9» –  вторая ступень, «0» –  третья ступень и т.д. и переложим ноты музыкального произведения в цифры.

Тогда знаменитое произведение Моцарта «Турецкий марш» на языке цифр выглядит так: 7656/12171/34323/76567656/161/7656/7654/3/34556543/… А произведение И. Баха «Токката и Фуга» на языке математики будет иметь вид: 6565432/122/65663412/65665432/122/1/135711/221/231231123/… .

Музыка в развитии математики

В школе учащиеся изучают целые и дробные числа. В музыкальной школе, в предмете «Теория музыки» тоже изучают дроби, но применительно к музыке. В музыке как и в математике, надо хорошо считать: 7 нот, 5 линеек нотного стана, интервал, ноты (короткие и длинные), продолжительность звука (по времени): целое (1,2,3,4); половинка (1,2); четвертинки (1); восьмые … . Не владея математическими знаниями о дробях, не умея их сравнивать музыкант не сможет озвучить даже маленький фрагмент музыкального произведения. В музыке как и в математике есть понятие параллельности (параллельные линии нотного стана, параллельные тональности и др.), которые как и в математике не пересекаются.

В математике расстояние измеряются в сантиметрах, метрах, километрах; интервалы времени в секундах, минутах, часы, сутках … . В музыке тоже есть интервалы: расстояния от звука к звуку, которые имеют собственные имена: прима, секунда, терция, кварта, квинта, секста, септима, октава и др., каждая из которых имеет математическую характеристику.

Всемирно известный немецкий композитор Иоганн Себастьян Бах не раз в своих выступлениях отмечал о тесной связи музыки и математики. В своих произведениях он успешно использовал свойства числовых соотношений и гармонические функции и закономерности создал уникальные музыкальные шедевры.

Гармония является одним из важнейших музыкальных принципов и по своей структуре строится строго по законам математики. Другое музыкальное понятие как тональность на самом деле является последовательностью звуковых высот, а каждый звучащий тон выражается математической громкостью (в децибаллах) и временной продолжительностью.

Одним из важных приемов музыкального исполнения является “ритм” – это, постоянное ударное звучание, который создает определенный паттерн формируя музыкальную структуру. Связь между музыкальным ритмом и математикой впервые было обнаружен греческими и шумерскими музыкантами как регулярное чередование ”слабых” и “сильных” ударов, что на языке математики символизирует числовую последовательность, с заданным порядком  “четный” и ”нечетный.” Грамотный музыкант мысленно разбивает ритм на разные составляющие – это и является ведущей структурой математики, связанное с понятием «целого» и  его «частей».

Каждый звук в музыкальных произведениях имеет особый тон, и слушатели более хорошо воспринимают низкие частоты нежели высшие. В связи с этим для определения  и оценки громкости звука в науке, а в практике используют логарифмическую шкалу звуков, построенную на основании и свойствах логарифмической функции.

При сочетании двух или нескольких звуков, если они звучат одновременно создается музыкальная гармония. Частоты каждого источника звука должны взаимодействовать друг с другом. На языке математики они различаются целыми числами, то есть имеет место гармоническое отношение чисел. Например, частота октавной, повторяющейся ноты должна быть в два раза больше, чем у главной (основной) ноты. Темп музыки, размерность музыкального произведения легко определяются величиной обыкновенных долей в каждом такте. Соблюдение математических методов обеспечивает гармоничное звучание музыкальной композиции. Благодаря музыке были открыты многие новые закономерности в математике как числа Фибоначчи, гармоническое колебание тригонометрических функции, графические сложения и вычитание амплитуд и многое другое. Математические принципы помогают музыкантам и композиторам создавать новые высоко гармоничные композиции и “сбалансированную” музыку, в том числе и с использованием “математических трюков”.

В ХХI веке немало музыкальных произведений созданы с использованием математических методов и компьютерных программ, которые позволяют рождению необыкновенных и интересных музыкальных ритмических композиций и структур. С помощью электронных устройств создаются фантастические, уму не постижимые музыкальные ритмы. Музыкальное, а вместе с ним и математическое творчество становится беспредельным, опережая возможности человека на многие годы вперед.

Резюме. Проведенное исследование показало, что музыка, музыкальное творчество как вид искусства тесно взаимодействуют с другим древнейшим искусством  –  математикой. Несмотря на то, что внешне они не похожи (музыка –  это взрыв эмоций, проявление души и  вершина чувств человеческих возможностей). Тогда как математика  –  эта тихая, сдержанная внутренняя жизнь, ум, рассуждение, логика мыслей, которая не всегда вырывается наружу. В их содружестве кроется большие образовательные ценности, которые необходимо правильно использовать на уроках.

Образование детей во многом зависит от умения учителя объединить великую магию музыки и гениальность математической теории.

Елисей Син, доктор педагогических наук, профессор, ректор ММУ