ЕЛИСЕЙ СИН: ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ НУЖЕН КОМПЛЕКСНЫЙ ПОДХОД

Планируемый переход школы на новые предметные стандарты, учебные планы, программы, учебники и УфМК по математике ставят перед педагогической общественностью немало вопросов. Одним из них является определение в новых условиях базового курса математики. О переходе на новые предметные стандарты, учебные планы и базовом курсе математики рассказывает Заведующий лабораторией  «Естественно-математических предметов» КАО, доктор педагогических наук, доцент  Елисей СИН. 

— В чем сложность перехода на новые предметные стандарты?

— Прежде всего, разберемся, что следует понимать под базовым курсом математики в школе? Базовый курс математики – это, прежде всего математика, которая предназначена «для всех» и служит одной из основ развития личности в современном обществе. В условиях массового обучения, каковым является наша общеобразовательная школа необходимо наличие общего для всех математического ядра математического образования. Содержание такого базового курса может быть отражено в предметном стандарте, в учебных программах, в учебниках и учебных пособиях по математике. Одной из современных критерий успешности обучения математике по такому базовому курсу можно взять достижения учащимися некоторого  уровня математической культуры.

В основу построения базового курса математики сегодня в отечественной и мировой практике положены:

• идея приоритета в содержании учебного материала по математике, имеющего общекультурное значение и достижение в возможно большей мере воспитательных целей, относящихся к интеллектуальной деятельности и формированию личностного характера (настойчивость, упорядоченность в работе, объективность, честность, вкус к предмету и т.д.);

• идея ориентации системы учебно-познавательной деятельности на развитие личности учащихся, а это требует более живой, более популярной формы изложения учебного материала, идейного разнообразия в теории и при решении задач, проявлять интерес к математической мысли учащихся, побуждать их к собственным идеям и открытиям;

• идея разумного и целесообразного пересмотра отношения к технической стороне дела, т.е. отказ от овладения всеми учащимися специальными навыками (за исключением тех навыков, которые необходимы для последующего изучения курса математики или используемых на других предметах и в практической деятельности).

— Алгебра и геометрия в старших классах как всегда должны изучаться отдельно? 

-На наш взгляд необходимо наличие единого учебного предмета математики в 1 – 6 классах, включающего в себе начало всех разделов школьной математики. Очень важно сохранение традиции по  раздельному изучению математики в 7 – 9 классах по предметам: алгебра и геометрия. Интегрирование этих предметов в единую «математику» в этих классах не подтверждено ни программой, ни учебниками или пособиями и тем более возможностью эффективной ее реализации в нынешней ситуации. Их объединение как предлагают отдельные исследователи, само по себе не отражается существенно на их содержании и приводит лишь к тому, что отдельные  материалы будут изучаться попеременно. А это сделает школьную математику более скучной, а параллельное изучение предметов  совершенно разных математических направлений придает курсу математики известное  разнообразие.

Сложность изучения предметов математики в 7 – 9 классах заключено в одновременном решении таких вопросов как учет идейных различий алгебры и геометрии и в тоже время установление их взаимосвязи. Различие предметов определяется через используемые в этих предметах математической структуры и аппарата построения. Идейные различия алгебры и геометрии существенны, и их учителю математики следует подчеркнуть. Установление взаимосвязи этих предметов не вызывает затруднения, ибо занятия по ним обычно ведет один и тот же учитель. Но чтобы добиться  этого необходимо в программе по математике  материалы по алгебре и геометрии  синхронизировать, а это может быть осуществлено, если учителю будет дано право обмена часами между двумя этими предметами. Поэтому раздельное изучение алгебры и геометрии вполне оправдано и многолетней традицией математического образования в школе.

В тоже время предметы алгебра, геометрия, алгебра и начало анализа, целесообразно вести как единый курс, объем часов. которого может быть сохранено  или несколько уменьшен от суммарного объема ныне действующих двух предметов.

— Есть мнение, что в старших классах математика вообще не должна быть обязательной для всех…

— Действительно, в педагогической литературе иногда проскальзывает и такая точка зрения, что «в старших классах математика вообще не должна быть обязательной для всех». Такое радикальное предложение, хотя и заслуживает внимания, однако беда в том, что в 9 классе приобщение детей к математической культуре не завершается и потому создание основ научного математического мировоззрения полностью не решены. Поэтому необязательность математики в старших классах не только снижает престиж предмета, но может поставить детей в трудное положение.

В тоже время при переходе на дифференциацию обучения многие темы из действующей программы для старших классов можно опустить.  Программа должна стать более разнообразной и менее жесткой, освобожденной от лишней трудоемкой техники доказательства, анализа и исследовательского аппарата, которые можно перенести в профильные классы.

Все содержание школьной математики сегодня сосредоточено в пяти основных разделах: счет и вычисления; числовые системы; алгебра; геометрия; анализ.

Первый раздел включает в себе четыре основных арифметических действий:  сложение, вычитание, умножение и деление над натуральными, а затем целыми числами, обыкновенными и десятичными дробями, включая приближенные вычисления и приближенное решение уравнений.  Законы арифметики, процент,  геометрическая интерпретация чисел,  прямоугольная система координат, масштаб и др.

Второй раздел объемлет теоретические аспекты всех изучаемых в школе числовых множеств: натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные, комплексные и другие числа. Степень, числовые последовательности, ряды, комбинаторика, статистика и элементы теории вероятностей, числовые системы и структуры.

В раздел алгебры входит свободное обращение с буквенными выражениями, тождества и тождественные преобразования, многочлен, формулы сокращенного умножения, степень и корень  n– степени, функции и их графики, решение уравнений и неравенств, а также их систем и др.

К разделу геометрия относятся знакомство детей с геометрическими фигурами и методами  решения геометрических задач, задач на построение, тригонометрию, координаты и векторы. Нахождение геометрических величин на плоскости и в пространстве. Комбинация и взаимное расположение геометрических  фигур и тел. Традиционно систематический курс геометрии строится на аксиоматическом подходе, и ей отводится ведущая роль и в формировании дедуктивного стиля мышления. Однако полноценное использование этого бесценного аппарата построения курса геометрии требует значительно большего времени, чем заложено сейчас.

К анализу относятся графическое представление чисел на прямой, в плоскости или в пространстве. Отношения и способы зависимостей между переменными, в том числе и графическое. Понятие о функциях и свойства элементарных функций, предел последовательности, производные и первообразные элементарных функции.  Материалы из начал  дифференциального и интегрального исчисления и др.

    — Важнее всего математика в начальных классах – как фундамент для будущего изучения этого предмета?

—  Особое внимание необходимо уделить предмету математика в начальных школе, так как именно в 1- 4 классах закладываются первичные основы всех пяти вышеперечисленных разделов математического образования. Следует заметить, что в республике за последние десятилетия идейное содержание начального курса математики значительно обогатилось за счет резерва познавательных возможностей младших школьников. Так в в младших классах учащиеся значительно расширили свои знания по алгебраическим элементам, геометрическим понятиям, статистики и т.д.

Источником развития первых трех разделов является решение примеров и текстовых задач на все действия и простейших уравнений и неравенств. Учащиеся знакомятся с величинами:  длина, площади, время, масса, с единицами их измерения и с отечественными денежными единицами. Происходит знакомство с простейшими зависимостями (время-скорость-путь, длина-периметр-площадь и т.п.).

Переломным моментом у учащихся начальных классов, является переход к вычислениям, когда они отделяются от конкретных словесных  (текстовых) задач и переходят к примерам, решая которые учащиеся начальных классов овладевают арифметическими действиями, попутно решая новые примеры связанные с числовыми неравенствами (что больше, на сколько больше или во сколько раз больше или меньше). При этом учащиеся приобретают навыки сравнительного, а в последующем сопоставительного  и   функционального анализа. Весьма полезным бывает введения в начальных классах буквенных обозначений для неизвестных, но это должно быть выполнено очень деликатно, вполне осознанно, а не формально. Выпускники начальной школы должны распознавать и изображать прямую, окружность, треугольник, четырехугольник (и другие многоугольники), куб, параллелепипеда, цилиндр, шар и др. Полученные знания помогут им легче воспринять геометрический материал в средних и старших классах. Для учащихся начальной школы, самым сложным является не решение  математических задач как таковых, а запись их решения. Поэтому на практике опытные учителя математики  создают своего рода «математическую пропись» при решении задач.

— Среднее звено – 5-6 классы требуют более пристального внимания при изучении математики? 

— В 5-6 классах учащимся приходится на уроках и дома выполнять действия над обыкновенными и десятичными дробями. А  для этого необходим значительный по объему и сложности теоретический материал. Так сложение дробей требует их приведения к общему знаменателю, а значит, и понятия наименьшего общего кратного и с другими материалами вокруг основной теоремы арифметики. Учащиеся 5 и 6 класса, как показывает практика нашей работы – это сложный, можно сказать «критический возраст» в математическом развитии. Именно в этом возрасте проявляются «математические» и логические качества мышления и «свое» отношение к «точным» предметам. Учитывая, что в программном материале 5-6 классов очень много примеров и задач, требующих овладения учащимися необходимыми вычислительными навыками, то это делает математику однообразной и весьма скучной. Поэтому, даже детей склонных и увлеченных математикой можно поддержать (и удержать) решением доступных им нестандартных задач. Учеников в этом возрасте привлекает доверие к ним и их возможностям решать необычные  задачи. Примеров таких задач много.

В этих классах все чаще появляются материалы из алгебраической части курса математики, они уже не носят пропедевтический характер, а имеют математическое обоснование в виде тождеств, равенств, формул, уравнений, неравенств и т.д. Появление формул, уравнений и различных отношений между неизвестными и переменными должно способствует лучшей подготовки  учащихся к появлению формул в курсе физике и химии 8 класса. К уже знакомым материалам начальной школы добавляются материалы, связанные с измерением углов (включая понятия острого, прямого, тупого углов и перпендикуляра), простейшие построения и измерения при помощи циркуля, линейки, транспортира и угольников. Расширяется знакомство с геометрическими фигурами и отдельными их признаками. Из раздела «анализа» появляются координаты и графики линейной и другой зависимостей, которые строятся по точкам (координатам) .

Курс алгебры в 7 – 9 классов состоит из следующих разделов:

• алгебра – обращение с формулами, тождествами (например, формулы сокращенного умножения), уравнения (линейное и квадратное); система уравнений и неравенств; квадратный трехчлен и элементы теории многочленов; функции и их графики; рациональные выражения и правила действия над ними, комбинаторика, элементы теории вероятностей и математической статистики;

• числовые системы – отрицательные, рациональные,  иррациональные  и действительные числа; о числовых последовательностях; приближенные вычисления и приближенные решения уравнений; возникающие в алгебре и в  геометрии квадратные корни;

• материалы анализа, которые распределяются между предметами алгебра и геометрия; график квадратного трехчлена в алгебре и в виде кривых на плоскости  в геометрии.

Уникальность предмета геометрии в математическом образовании определяется необычайным разнообразием и богатством приемов и методов при решении  геометрических задач. Но в ходе изучения теоретического материала, а именно при решении задач у учащихся  развиваются воображение и логическая культура, пространственные представления и творческие способности. С другой стороны, это своеобразие, по существу, каждой геометрической задачи и темы, создают известные трудности в освоение систематического курса геометрии, преодолеть которое не всем учащимся удается. Для его преодоления опытные учителя используют кластерный подход. Так, например знаменитая теорема  Пифагора может быть успешно понята при наличии у учащихся следующих понятий: сумма, равенство, степень, треугольник, катет, гипотенуза и др.

Геометрия в 7 – 9 классах включает в себя:

• традиционный планиметрический материал о свойствах основных геометрических фигур на плоскости, измерение геометрических величин, теорема Пифагора  и следствии из неё. Тригонометрические функции и их применение в планиметрии, векторная алгебра, геометрические преобразования, метод координат, исторические сведения о геометрии и элементы стереометрии и др. Несмотря на очевидные явления и многочисленные наглядные рисунки в учебниках, мы считаем, что для учащихся геометрия по-прежнему остается самым сложным разделом математики;

• структуру логического строения геометрии составляет простое правило, что в нем можно пользоваться только уже известные к этому времени набором понятий и утверждений в виде аксиом и следствий из них. Далее, после формирования необходимого и достаточного числа аксиом, аккуратно опираясь на них доказываются все новые геометрические понятия и теоремы. Обсуждение их необходимости и достаточности основных понятий в этих классах не обсуждаются. Более основательное обсуждение о необходимости основных понятий и аксиом, а также о возможности их минимизации можно провести чуть позже с привлечением исторического материала. В старших классах возможна беседа о полноте и непротиворечивости аксиоматики и дать некоторые доступные учащимся сведения из геометрии Римана, Лобачевского и других материалов из неэвклидовой геометрии. Все это способствует дальнейшему развитию на уроках геометрии дедуктивного метода и усилению мировоззренческого значения предмета. Необходимо, чтобы на этом этапе обучения, выпускники 9 классов уже имели более полное представление о математике как завершенном курсе, а приобретенные знания и компетентностные умения были достаточными для трудовой деятельности и приобретения начальных профессиональных квалификаций.

— Другими словами, необходимы радикальные изменения в программе обучения?

— Одной из важных идей курса математики в 10 – 11 классах – является достижение на уроках и во внеклассных мероприятиях общекультурной цели. В курсе математики старших классов имеются довольно сложные разделы и без усвоения которых  она  не будет носит завершенный характер. Поэтому, желательно ряд «трудных» материалов (производная, интеграл, дифференциальные уравнения и др. дать как можно в более популярной форме, делая основной акцент на понимание, развитие интереса и расчет на самостоятельное его углубление (для тех учеников кому в перспективе это необходимо). К таким действиям нас вынуждает и Государственный образовательный стандарт среднего образования республики. В связи с этим необходимы радикальные изменения в программе обучения. Так, например, в геометрической части мы наблюдаем ослабление аксиоматической линии при переносе акцента на наглядную и «живую» геометрию, в началах анализа происходят процессы по значительному облегчению теоретической части и усилению его популярным материалом, обзором и простейшими иллюстрациями на  применение алгоритмов исследования функции, а темы производная и интеграл  его прикладными задачами. Аналогично, больше внимания уделить прикладным значениям степенной, показательной, логарифмической и тригонометрических функций при решении возникающих вокруг нас задач. Тем более, что в вузах уже на первых курсах все эти темы изучаются заново, причем основательно. Поэтому в обязательный  (базисный) курс математики в 10 – 11 классах можно включить следующие темы: элементы анализа, элементы теории вероятностей и математической статистики и другие материалы из истории математики. Отбор учебного материала для школьного курса математики это очень сложный процесс и как правило, определяется необходимостью рассмотреть в средней школе в первую очередь те вопросы, которые имеют широкий общеобразовательный характер, содействуют формированию мировоззрения, дают наиболее яркое и верное представление о сущности современной математики, её роли в системе других наук, технике, производстве, которые могли бы оптимально подготовить учащихся к практической деятельности. В связи с этим в программах и в новых учебниках необходимо особое внимание уделить вопросам современной трактовке функции,, развитию логико-символической культуры, математическим структурам.

Чтобы держать определенную планку для тех учащихся кто интересуется математикой или кому нужно математика на достаточно высоком уровне, например для поступления в вуз необходимо внедрение дифференцированных форм обучения с системой дополнительных модулей как «Аксиоматический метод», «Математическая индукция», «Комплексные числа», «Элементы дискретной математики» и другие. Тем самым будут созданы условия для развития устойчивого  интереса к математике и математических способностей у учащихся, проявляющих особую склонность к изучению предмета.

В заключение  следует отметить, что мы затронули только один из компонентов оптимизации школьного математического образования, а именно содержательный. А ведь есть и другие не менее важные  подходы как методическая тесно связанная с деятельностью учителя, организационная – проведение системы уроков и учебно-воспитательных мероприятий, нормативно-правовая и т.д., которые также оказывают влияние на процессы оптимизации. Следовательно, оптимизация математического образования школьников осуществима только при комплексном подходе решении проблемы математического образования. Эту не простую работу следует начинать уже сегодня, ибо завтра будет поздно.