ЧТО ЗНАЧИТ «ЗАНЯТЬ»?

Разговор о вычитании столбиком — и о том, почему оно не заканчивается во втором классе

Серия «Одна нить», статья 1.

Один ключ – много дверей – одна понятая идея помогает решать разные задачи

Работая с учителями и репетиторами, мы часто слышим один и тот же вопрос: как объяснить так, чтобы понял каждый? Готовых рецептов у нас нет, но есть наблюдения и приёмы, которыми хочется поделиться. Мы постараемся регулярно делиться своим опытом на отдельных маленьких примерах из школьной математики и прослеживать, куда он ведёт — от начальной школы до взрослой жизни.

Вспомните, как мы сами учились вычитать столбиком. Пятьдесят два минус семнадцать. Из двух семь не вычтешь – значит, «занимаем» у пятёрки: ставим над ней точку, и двойка превращается в двенадцать. Двенадцать минус семь – пять. Пятёрка с точкой становится четвёркой, четыре минус один – три. Ответ: тридцать пять.

Всё верно. Но попробуйте спросить второклассника: что именно мы заняли? И почему двойка стала двенадцатью, а не тройкой – ведь заняли всего одну единицу? Часто мы услышим «так надо». И это честный ответ: ребёнок выучил последовательность действий – точка, единица слева, минус один у соседа, – но не знает, что за ней стоит.

А за ней стоит очень простая вещь. Пятьдесят два – это пять десятков и две единицы. Если в первом классе ребёнок связывал счётные палочки в пучки по десять, он видит это буквально: пять пучков и две отдельные палочки. Отдать семь отдельных палочек нельзя – их всего две. Значит, надо развязать один пучок. Пучков стало четыре, а отдельных палочек – двенадцать. Вот откуда берётся «двенадцать»: мы заняли не единицу, а десяток, и он рассыпался на десять единиц. Теперь семь палочек отдать можно, останется пять; из четырёх пучков отдать один – останется три. Та самая точка над пятёркой – это просто запись о том, что один пучок развязан.

Разница между этими двумя детьми – тем, кто запомнил точку, и тем, кто развязывал пучок, – во втором классе не видна. Оба решают пример верно, оба получают пятёрку. Разница появится позже – и станет тем больше, чем дальше пойдёт учёба.

Третий класс: тысяча минус три

Есть пример, который любой учитель начальных классов знает как камень преткновения: тысяча минус три, столбиком. Из нуля три не вычтешь – занимаем у соседа. Но у соседа тоже ноль. И у следующего. Ребёнок, у которого есть только правило «поставь точку над соседом», здесь теряется: над чем ставить точку, если там ничего нет? Ответы бывают самые разные – вплоть до 1003: раз из нуля вычесть нельзя, ребёнок просто вычитает ноль из тройки.

Ребёнок, у которого есть пучки, видит другую картину. Тысяча – это одна большая связка. Развязываем её – получаем десять сотен. Но больше девяти в разряде сотен не бывает: девять сотен остаются на месте, а десятую мы развязываем. Получаем десять десятков. Девять из них остаются в разряде десятков, десятый развязываем – и перед нами десять единиц. Вот из них и отнимаем три – остаётся семь. Девять сотен, девять десятков, семь единиц: 997.

А если в числе уже были свои единицы – скажем, тысяча два минус три, – к десяти развязанным добавятся ещё две, и единиц станет двенадцать. Отнимаем три – девять, и ответ 999. Это та же самая идея, что и в примере с пятьюдесятью двумя, просто применённая несколько раз подряд. Ничего нового запоминать не нужно.

Пятый и шестой класс: дроби

Три минус ноль целых сорок восемь сотых. Шестикласснику говорят: «допиши нули и вычитай как обычно». И снова один ученик запоминает новое правило, а другой узнаёт старое действие. Одну из трёх целых развязываем – десять десятых. Девять десятых оставляем, одну развязываем – десять сотых. Теперь у нас две целых, девять десятых и десять сотых. Из десяти сотых отнимаем восемь – остаётся две. Из девяти десятых отнимаем четыре – остаётся пять. Ответ: две целых пятьдесят две сотых. Это то же самое, что тысяча минус три, только пучки теперь справа от запятой. А нули, которые шестиклассника просят «дописать», – это и есть места для тех десятых и сотых, что появились при развязывании.

А вот пример, где десятков нет вовсе: пять минус две целых три четверти. Из нуля четвертей три четверти не вычтешь. Знакомо? Одну целую развязываем – но теперь она распадается не на десять частей, а на четыре четверти. Пять становится четырьмя целыми и четырьмя четвертями; вычитаем – получаем две целых одну четверть. Для того, кто понял пучки, это открытие: оказывается, «занять» можно не только десяток. Для того, кто запомнил точку, это ещё одно правило, никак не связанное с предыдущими. Именно так математика превращается для ребёнка в груду правил, которую невозможно удержать в голове.

А в жизни?

Автобус уходит в три часа пятнадцать минут, а сейчас час сорок. Сколько ждать? Взрослый делает тот же самый заём, сам того не замечая. Из пятнадцати минут сорок не вычтешь – значит, развязываем один час. Только в этом «пучке» не десять минут, а шестьдесят. Три часа пятнадцать минут – это два часа семьдесят пять минут; отнимаем час сорок – остаётся час тридцать пять. Ребёнок, который понял пучки, справится с этим сразу. Ребёнок, который запомнил «припиши единицу слева», превратит пятнадцать минут в сто пятнадцать и получит ответ «час семьдесят пять минут» – и будет долго на него смотреть, не понимая, где ошибся.

Есть и другой житейский способ, который понимание пучков делает естественным. Пятьдесят два минус семнадцать можно считать так: отнимем сразу двадцать – это просто два целых пучка, останется тридцать два. Но мы отняли на три больше, чем нужно, – вернём их: тридцать пять. Так считают в уме люди, которые «хорошо считают», и никакого таланта здесь нет: просто они видят в семнадцати не две цифры, а два десятка без трёх. Так же продавец отсчитывает сдачу с тысячи за покупку в триста семьдесят сомов: добавляет тридцать до четырёхсот, потом шестьсот до тысячи – и никогда не вычитает столбиком.

И вот что важно. Взрослый, который достаёт телефон, чтобы отнять триста семьдесят от тысячи, не глупее продавца. Просто во втором классе ему показали точку, а не пучок. И счёт с тех пор для него – процедура, которую нужно выполнять на бумаге, а не способ видеть числа.

Человечество шло к этому веками

Точка над цифрой кажется мелочью школьной техники. На самом деле за ней стоит одно из самых долгих изобретений человечества. Римский купец тоже умел занимать: на его счётной доске каждая линия была разрядом, и заём был физическим действием – снять камешек с одной линии и выложить десять на соседней. Но записать это на письме он не мог. В римской записи CCV значение знака не зависит от его места, а значит, нет и разряда, у которого можно занять. Считали на доске, а на табличке только записывали результат.

Чтобы вычислять прямо на письме, понадобились две вещи: запись, в которой значение цифры зависит от её места, и знак для пустого места – ноль. Такая запись сложилась в Индии, через арабских учёных пришла в Европу и прижилась там далеко не сразу: к ней ещё долго относились с недоверием. Об этом пути – наши короткие видеоистории «Как пустое место стало числом» и «Цифры вне закона» (https://www.instagram.com/youraizone.com1). Когда ребёнок развязывает пучок палочек, он за пять минут проходит путь, на который человечество потратило много веков.

Почему это вопрос методики

Заём в столбике, тысяча минус три, десятичные дроби, смешанные числа, часы и минуты, сдача в магазине – в учебнике это шесть разных тем в разных классах. На самом деле это одно и то же действие: разменять крупную единицу на мелкие. Ребёнок, который усвоил это действие однажды, во втором классе, дальше только узнаёт его в новых одеждах. Ребёнок, который запомнил точку, учит шесть правил – и каждое новое ложится рядом со старыми, не опираясь на них.

У этого есть цена, и честно её назвать. Пучки на уроке занимают больше времени, чем показать точку на доске. Но это время возвращается: в третьем классе не нужно отдельно разбирать нули, в шестом – объяснять, зачем дописывать нули после запятой. И есть одна ловушка: палочки сами по себе ничего не гарантируют. Если ребёнок развязывает пучок, потому что так велели, палочки становятся тем же ритуалом, что и точка. Работает не предмет в руках, а момент, когда ребёнок сам объясняет словами, зачем он это сделал.

Поэтому предложение на завтра совсем простое и годится для любого класса. Когда ученик решит пример с заёмом – всё равно, столбик это, дроби или часы, – спросите его: «А что мы заняли?» Если он отвечает «десяток», «целую», «час» – нить держится. Если отвечает «единицу» или «так надо» – это не повод для плохой оценки, а повод достать палочки, даже если перед вами шестиклассник. Один вопрос за пять секунд покажет, что у ребёнка в голове: идея или правило.

Та же идея — другими руками

Пучки палочек – не единственный способ. Вот ещё три из разных школ, и все они показывают одно и то же: разряд – это пучок, а заём – его размен.

Многоосновные блоки Дьенеша (Венгрия). Кубик, стержень из десяти кубиков, пластина из десяти стержней. Заём – это обмен стержня на десять кубиков. Венгерский математик Золтан Дьенеш делал такие наборы и для других оснований – по два, по три, по четыре, – чтобы ребёнок понял: десятка не закон природы, а договорённость. Не путать с логическими блоками Дьенеша – это другой его материал.

Русские дощанные счета и Соробан (Япония), где каждая спица – разряд. Заём здесь не спрятан за точкой: чтобы из двух вычесть семь, снимают одну косточку на спице десятков и добавляют на спице единиц три – ровно столько, сколько не хватает семёрке до десятка. Каждый шаг виден глазом. В Японии соробан проходят на уроках математики в 3–4 классах.

Насипай Рыспеков,
директор учебного центра «ИИ Атлас»;
Мгер Мурадян,
ведущий конструктор образовательной платформы YourAIZone.